в математике,
2) Х. ф. множества
А (в современной терминологии - индикатор
А) -
функция f (
x), определённая на некотором множестве
Е, содержащем множество
А, и принимающая значение
f (
x) = 1, если
x принадлежит множеству
А, и значение
f (
x) = 0, если
x не принадлежит ему. 3) В теории вероятностей Х. ф.
fX (
t) случайной величины
Х определяется как
Математическое ожидание величины
eitX. Это определение для случайных величин, имеющих
Плотность вероятности pX (
x), приводит к формуле
.
.
Свойства Х. ф.: каждой случайной величине
Х соответствует определённая Х. ф.
fX (
t); распределение вероятностей для Х однозначно определяется по
fX (
t); при сложении независимых случайных величин соответствующие Х. ф. перемножаются; при надлежащем определении понятия "близости" случайным величинам с близкими распределениями соответствуют Х. ф., мало отличающиеся друг от друга, и, обратно, близким Х. ф. соответствуют случайные величины с близкими распределениями. Указанные свойства лежат в основе применений Х. ф., в частности к выводу предельных теорем (См.
Предельные теоремы) теории вероятностей. Впервые аппарат, по существу равнозначный Х. ф., был использован П.
Лапласом (1812), но вся сила метода Х. ф. была показана А. М.
Ляпуновым (1901), получившим с его помощью свою известную теорему.
Понятие Х. ф. может быть обобщено на конечные и бесконечные системы случайных величин (т. е. на случайные векторы и случайные процессы).
Лит.: Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 5 изд., М., 1969; Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей, 2 изд., М., 1973.